SHEPARD LEMMA

Pengertian
Lemma Shephard's merupakan hasil utama dalam ekonomi mikro yang memiliki aplikasi dalam teori perusahaan dan pilihan konsumen.
Lemma menyatakan bahwa jika kurva indiferen dari pengeluaran atau fungsi biaya yang cembung, maka biaya meminimalkan titik yang diberikan baik (i) dengan pi harga unik. Idenya adalah bahwa konsumen akan membeli jumlah ideal unik dari tiap item untuk meminimalkan harga untuk memperoleh tingkat utilitas tertentu diberikan harga barang di pasar.
lemma ini dinamai Ronald Shephard yang memberi bukti dengan menggunakan rumus jarak dalam bukunya Teori Fungsi Biaya dan Produksi (Princeton University Press,1953).
Hasil setara dalam konteks teori konsumen pertama kali diturunkan oleh Lionel W. McKenzie pada tahun 1957. Ini menyatakan bahwa turunan parsial dari fungsi pengeluaran dengan menghormati harga barang-barang sama dengan fungsi permintaan Hicks untuk barang-barang yang relevan. Hasil serupa telah diturunkan oleh John Hicks (1939) dan Paul Samuelson (1947).
Dalam teori konsumen, lemma Shephard's menyatakan bahwa permintaan untuk i barang tertentu untuk tingkat tertentu u utilitas dan diberikan p harga, sama dengan turunan dari fungsi pengeluaran sehubungan dengan harga barang yang relevan:



mana hi (p, u) adalah permintaan Hicks untuk i yang baik, e (p, u) adalah fungsi pengeluaran, dan kedua fungsi dalam hal harga (a p vektor) dan utilitas u.
Demikian juga, dalam teori perusahaan, lemma memberikan sebuah formulasi yang sama untuk faktor permintaan bersyarat untuk masing-masing faktor input: derivatif dari fungsi biaya c (w, y) sehubungan dengan harga faktor:



mana xi (w, y) adalah faktor permintaan bersyarat untuk i input, c (w, y) adalah fungsi biaya, dan kedua fungsi dalam hal harga faktor (a w vektor) dan output y.
Meskipun bukti asli Shephard's menggunakan rumus jarak, bukti modern yang Shephard's lemma menggunakan teorema amplop.

Bukti untuk Kasus terdiferensialkan

Buktinya dinyatakan untuk kasus dua-baik untuk kemudahan notasi. Fungsi pengeluaran e (p1, p2, u) adalah minimand dari masalah optimasi ditandai oleh Lagrangian berikut:



Dengan amplop teorema derivatif dari e minimand (p1, p2, u) sehubungan dengan parameter p1 dapat dihitung seperti:



di sini x_ {1} ^ {h} adalah minimizer (yaitu fungsi permintaan Hicks untuk 1 baik). Ini melengkapi buktinya.


Selaian keterangan diatas terdapat sumber yang berbeda yang menjelaskan tentang shepar lemma, walaupun tidak jauh berbeda dengan diatas namun saya meperkirakan penting untuk di beritahukan

Shepard lemma
lemma Shephard's (lemma Shephard) adalah suatu sifat penting fungsi biaya yang dapat timbul dalam ekonomi produksi, dalam apa yang dikenal sebagai pendekatan dual (pendekatan dual), persamaan permintaan input bersyarat (Tuntutan input bersyarat) , yang adalah pertanyaan input terikat dengan vektor output tertentu, fungsi biaya.

Menurut Shephard's lemma, titik-titik di mana fungsi biaya terdiferensialkan sehubungan dengan harga, permintaan masukan bersyarat bertepatan dengan gradien dari fungsi biaya sehubungan dengan harga:


Pendekatan ini sebenarnya menyerukan distigue dual dari (pendekatan primal) primer, di mana bukan permintaan input kondisional berasal langsung dari fungsi produksi.
Bahkan, pendekatan dual lebih banyak digunakan daripada primer karena estimasi fungsi biaya lebih mudah.

Demonstrasi

Mengingat fungsi biaya:

Mana a dalah vektor input pertanyaan bersyarat untuk harga input dan jumlah produksi kita dapat mendefinisikan fungsi lain
sehingga:

Dengan definisi tersebut kita memiliki:

Selain itu, sejak:

Berikut


Jadi dalam fungsi mengakui maksimum di atas Selain itu, karena dengan definisi fungsi biaya terdiferensialkan, g juga terdiferensialkan dan kami memiliki:


dari yang berikut:















Hotelling lemma

Pengertian

lemma Hotelling adalah hasil di Mikroekonomi Itu Berkaitan dengan penyediaan baik untuk keuntungan produsen yang baik. Apakah ini pertama kali ditunjukkan oleh Harold Hotelling, dan banyak digunakan dalam teori perusahaan. lemma ini sangat sederhana,
lemma Hotelling adalah sebagai lemma Shephard, sebuah bentuk khusus dari teorema amplop (amplop teorema bahasa Inggris) bernama dalam ekonomi mikro [1] lemma setelah statistik Amerika Serikat dan ekonom Harold Hotelling.. Hotelling's Lemma menyatakan bahwa memungkinkan fungsi permintaan faktor umum dan fungsi penawaran keseluruhan ditentukan dari fungsi keuntungan. Untuk produksi optimum, turunan parsial dari fungsi laba diperoleh setelah harga barang, kuantitas yang terjual, sedangkan derivatif parsial, sesuai dengan harga masing-masing faktor input faktor (negatif). asumsi-Nya Hotelling mengasumsikan bahwa harga barang yang diproduksi oleh pasar, jumlah output tetapi dari produsen.

Biarkan y (p) menjadi bersih menyediakan fungsi perusahaan dari segi harga barang tertentu's (p). Kemudian:



untuk π fungsi keuntungan perusahaan dari segi harga yang baik, dengan asumsi bahwa p> 0 dan yang derivatif ada.

Bukti teorema ini berasal dari kenyataan bahwa untuk sebuah perusahaan memaksimalkan keuntungan, maksimum laba perusahaan di beberapa * y output (p) diberikan oleh minimum π (* p) - p * * (p) y di beberapa harga, * p, yaitu dimana
memegang. Demikian dan kita selesai.
Buktinya juga merupakan akibat wajar dari teorema amplop

derivasi Matematika

Jadilah keuntungan produsen sebagai fungsi dari input dikonsumsi

.

Dengan :
W = pasar upah (alternatif di sini setiap input faktor lain yang mungkin digunakan)
ld = bekerja (alternatif di sini setiap input faktor lain yang mungkin digunakan, tetapi ini kemudian harus diukur dalam kaitannya dengan alternatif yang dipilih pada faktor w)
ld (p, w) = permintaan tenaga kerja (sebagai permintaan input alternatif)
π = keuntungan
y (p, w) = permintaan barang
T (ld) = fungsi produksi
p = harga pasar

Menentukan jumlah produksi
Turunan pertama dari fungsi keuntungan bagi p adalah


berlaku untuk produksi optimum

mengikuti

Penentuan (negatif) input faktor

Turunan pertama dari fungsi keuntungan bagi w adalah


berlaku untuk produksi optimum

dan dengan demikian

mengikuti



Teorema amplop

Teori amplop adalah teorema matematika yang terkait dengan aplikasi bisnis dan konsep sedikit biaya
Teorema ini tersedia dalam dua versi: versi regular (untuk masalah optimasi tak terbatas) dan versi umum (untuk masalah optimasi).
Menurut pernyataan dari versi umum, sebagai masalah optimasi, derivatif dari nilai fungsi (yaitu fungsi yang berhubungan nilai fungsi objektif dengan parameter masalah) dibandingkan dengan parameter sama dengan derivatif dari Lagrangian dengan hormat parameter yang sama.
Pentingnya teorema ini juga karena kenyataan bahwa aliran dari itu Hotelling's lemma, lemma Shephard dan identitas Roy. Hal ini juga memungkinkan perhitungan lebih mudah statistik komparatif dalam model ekonomi.
Setelah ucapan dalam pertimbangan berlaku untuk masalah maksimisasi dengan cara yang sama juga untuk meminimalkan masalah dan mengasumsikan bahwa variabel dalam vektor mewakili tebal

Mengingat masalah maksimisasi sewenang-wenang tak terbatas di mana fungsi objektif tergantung pada parameter tertentu :



Fungsi adalah solusi masalah & mdash: ia mengembalikan nilai maksimum fungsi objektif fungsi parameter .
Baik adalah nilai yang ditanggung oleh di, Teorema amplop kemudian menunjukkan bagaimana perubahan dengan parameter. Dalam formula:


Turunan dari d parsial ari ri diberikan oleh derivatif kembali daripada mengambil tetap, dan kemudian mengukur nilai yang baik
Generalized amplop teorema
Ada juga versi teorema yang disebut teorema amplop umum, yang digunakan dalam masalah optimasi.
Mempertimbangkan masalah berikut

mana kendala yang dinyatakan oleh kita mendapati bahwa dicirikan oleh Lagrangian

dimana:


Teorema amplop umum kemudian menyatakan bahwa

Perhatikan bahwa pengganda Lagrange
diperlakukan sebagai konstan selama diferensiasi dari Lagrangian, kemudian diganti dengan nilai-nilai mereka di parameter.





Roy’s identity

A.Pengertian
Roy identitas (nama untuk ekonom Perancis Rene Roy) merupakan hasil utama dalam ekonomi mikro memiliki aplikasi dalam pilihan konsumen dan teori perusahaan. lemma ini berhubungan fungsi (Marshallian) permintaan biasa untuk derivatif dari fungsi utilitas tidak langsung.
Identitas Roy merupakan elemen dari teori konsumen untuk menghubungkan permintaan Marshallian derivatif parsial dari fungsi utilitas tidak langsung. Karena itu memungkinkan untuk mengetahui permintaan konsumen untuk yang baik bila Anda tahu bagaimana keranjang yang dipilih benar-benar tanggap terhadap perubahan harga dan pendapatan.
Secara formal, ini merupakan reformulasi dari lemma permintaan binder Marshalian Shephard dan permintaan Hicks. identitas Roy berguna untuk menunjukkan hubungan Slutsky. Secara khusus, dimana V (P, Y) adalah fungsi utilitas tidak langsung, maka fungsi permintaan Marshallian untuk i yang baik dapat dihitung sebagai:



Biarkan u Fungsi utilitas kontinu mewakili hubungan preferensi cembung sempurna dan non (.)-Jenuh lokal didefinisikan pada set konsumsi Biarkan v (p, w) fungsi utilitas tidak langsung sesuai dengan u (.). Jika v (p, w) adalah terdiferensialkan pada suatu titik , , , Kemudian, untuk masing-masing



Penurunan identitas Roy

roy's merumuskan identitas lemma Shephard dalam upaya untuk mendapatkan fungsi permintaan Marshallian bagi seorang individu dan (i) yang baik dari beberapa fungsi utilitas tidak langsung.
Langkah pertama adalah untuk mempertimbangkan identitas sepele yang diperoleh dengan menggantikan fungsi pengeluaran untuk kekayaan atau pendapatan Y dalam fungsi utilitas tidak langsung V (Y, P), di sebuah utilitas dari u:

V (e (P, u), P) = u

Ini mengatakan bahwa fungsi utilitas tidak langsung dievaluasi sedemikian rupa sehingga meminimalkan biaya untuk mencapai utilitas tertentu yang diberikan satu set harga (a p vektor) adalah sama dengan utilitas bahwa ketika dievaluasi pada saat-harga.
Mengambil turunan dari kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan harga pi yang baik tunggal (dengan tingkat utilitas tetap konstan) memberikan:



Mengatur kembali memberikan hasil yang diinginkan:



Alternatif Bukti untuk Kasus terdiferensialkan

ada bukti sederhana Identitas Roy, dinyatakan untuk kasus dua-baik untuk kesederhanaan.
Utilitas tidak langsung fungsi V (p1, p2, Y) adalah maximand dari masalah optimasi ditandai oleh Lagrangian berikut:



oleh amplop Teorema, derivatif dari V maximand (, p1 p2, Y) sehubungan dengan parameter dapat dihitung seperti:



mana pemaksimal (yaitu fungsi permintaan Marshallian untuk 1 baik). aritmatika sederhana kemudian memberikan Identitas Roy:


Aplikasi

Hal ini memberikan metode yang berasal Marshallian fungsi permintaan suatu barang untuk beberapa konsumen dari fungsi utilitas tidak langsung dari konsumen tersebut. Hal ini juga mendasar dalam menurunkan persamaan Slutsky.